INDUKSI MATEMATIK

BAB I

INDUKSI MATEMATIK

A.    Induksi Matematik

1.      Pengertian Induksi Matematik

Induksi matematika adalah suatu metode standar yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan bulat positif atau suku-suku bilangan asli. Untuk melakukan pembuktian dengan Induksi matematik dapat diilustrasikan dengan fenomena yang terkenal yaitu dengan kartu bridge. Sejumlah kartu bridge diletakan berdiri dengan jarak ruang yang sama satu dengan yang lain. Untuk merebahkan kartu bridge kita hanya cukup mendorong kartu yang ke-1. Jika kartu bridge  1 didorong kekanan, ia akan memdorong kartu bridge ke-2, kartu bridge 2 mendorong kartu bridge 3, dst sampai semua kartu bridge rebah ke kanan.

2.      Prinsip Induksi Matematik

Dalam pembahasan ini, kita akan menguraikan prinsip induksi matematik yang disertai dengan contoh untuk menggambarkan tentang pembuktian suatu penyataan dengan induksi matematik. Misal kita notasikan himpunan bilangan asli dengan N = {1, 2, 3, . . . }.

Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematik sebagai berikut. Misal p(n)  adalah suatu proporsi yang akan dibuktikan kebenaranya untuk setiap  n bilangan asli. Adapun langkah pembuktian dengan induksi matematik sebagai berikut.

1.    Ditunjukkan bahwa  p(1)  benar.

2.    Diasumsikan bahwa p(k) benar untuk setiap k bilangan asli dan ditunjukkan bahwa p(k+1) benar.

Kesimpulan p(n)  bernilai benar untuk setiap n bilangan asli, jika langkah (1) dan (2) berhasil ditunjukkan nilai kebenarannya. Hal itu ditunjukkan dengan langkah (1) yaitu p(1) yang bernilai benar dan langkah (2) yaitu p(2)  yang bernilai benar pula. Jika p(2)  benar maka utuk p(3), p(4)  dan seterusnya sampai p(n)  benar untuk setiap n  bilangan asli. Pada langkah (1) disebut basis (pondasi) induksi dan langkah (2) merupakan hipotesa induksi. Hal ini berarti dalam pembuktian dengan induksi matematik harus urut atau dimulai dari langkah (1) kemudian baru langkah (2) tidak bisa dilakukan terbalik.